Примечания:
Разделы I и II - для аспирантов математического отдела.
Раздел III - дополнительный для аспирантов отдела вычислительных и информационных ресурсов.
* - дополнительные вопросы для выпускников математических факультетов.
|
|
I. Математический анализ и дифференциальные уравнения
|
|---|
| 1. | Непрерывность функций одной и многих переменных, свойства непрерывных функций. Полный дифференциал и его геометрический смысл. Достаточные условия дифференцируемости. Градиент. |
| 2. | Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных функций. Криволинейные координаты на многообразии. |
| 3. | Первообразная ,определенный интеграл. Формула Ньютона, условия интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. |
| 4. | Понятие метрического пространства, полные метрические пространства, компактность. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Принцип сходимости Коши, теорема Бэра. |
| 5. | Гильбертово пространства. Изоморфизм L2 и l2. Сходимость в среднем. Ортогональные системы функций. Неравенство Бесселя, условие полноты. Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье. |
| 6. | Интегральные уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма. |
| 7. | Линейное пространства, их подпоространства. Базис, размерность. Теорема о ранге матрицы. Система линейных уравнений. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений. Фундаментальный набор решений системы однородных линейных уравнений. Теорема Кронкера-Капелли. |
| 8. | Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции. |
| 9. | Линейные отображения и преобразования линейного пространства, их задание матрицами. Характеристический многочлен. Собственные векторы , и собственные значения., присоединенные векторы , Жорданова форма матриц |
| 10. | Нормированные и эвклидовы пространства. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Ортогональные, унитарные и самосопряженные преобразования. Приведение квадратичной формы к главным осям. |
| 11. | Афинные преобразования Аффиная и метрическая классификация кривых и поверхностей 2-го порядка. |
| 12. | Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Фактор-группа. Теорема о гомоморфизмах. |
| 13. | Дифференциальное уравнение и система уравнений в нормальной форме. Теорема о существовании и единственности решения. Непрерывная зависимость решения от параметров и начального условия. Понятие устойчивости по Ляпунову. |
| 14. | Динамические системы, их особенности, инвариантные многообразия, траектории. Предельные множества. Особые точки системы дифференциальных уравнений на плоскости и их классификация. Предельные циклы. |
| 15. | Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. Фундаментальная матрица линейной системы дифференциальных уравнений. Определитель Вронского и формула Лиувилля. Общее решение уравнений с постоянными коэффициентами. метод вариации произвольных постоянных. |
| 16. | Линейные уравнения в частных производных второго порядка. Их классификация. Задача Дирихле и Неймана для оператора Лапласа. Задача Коши для уравнения струны. Первая краевая задача и задача Коши для уравнения теплопроводности. |
| 17. | Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. |
| 18. | Элементарные функции комплексного переменного и даваемые ими конформные отображения. Простейшие многозначные функции. Дробно-линейные преобразования. |
| 19. | Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение. |
| 20. | Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка. Вычеты. Применение к вычислению интегралов. |
| 21. | Простейшие задачи вариационного исчисления и оптимального управления. Уравнение Эйлера-Лангража и принцип максимума. Геодезические линии на поверхности. Интерполяционные и сглаживающие сплайны. |
| 22. | Дифференциальные формы на многообразиях. Общая теорема Стокса. Следствия для векторных полей в трехмерном пространстве. Дивергенция. Вихрь. |
| 23. | Простейшие задачи вариационного исчисления и оптимального управления. Уравнение Эйлера-Лангража и принцип максимума. Геодезические линии на поверхности. Интерполяционные и сглаживающие сплайны. |
| 24. | Дифференциальные формы на многообразиях. Общая теорема Стокса. Следствия для векторных полей в трехмерном пространстве. Дивергенция. Вихрь. |
Дополнительные вопросы для аспирантуры в математическом отделе. |
|---|
| * 25. | Аналитическая функция в целом. Римановы поверхности. |
| * 26. | Функции с ограниченным изменением. Мера в смысле Лебега. Теорема Д.Ф. Егорова, С-свойства. Абсолютно непрерывные фукции. Суммируемые функции. Интеграл Лебега и его основные свойства |
| * 27. | Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна линии на поверхности. Теорема Менье. Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Главные направления и главные кривизны. Формула Эйлера. Гауссовая кривизна поверхности. |
| * 28. | Понятие топологического пространства и гладкого многообразия. Основы римановой геометрии и тензорного анализа (аффинная связаность, ковариантное дефференцирование, тензор). |
| * 29. | Элементы выпуклого анализа в линейных пространствах: выпуклые множества, конусы, функции. Субдифференциал выпуклой функции. Терема Хана-Банаха и отделимость пары выпуклых множеств. Двойственный критерий непересечения конечной системы выпуклых конусов (уравнение Эйлера). |
| * 30. | Задачи на экстремум в нормированных пространствах. Ограничения типа равенства и неравенства, их локальная линейная и выпуклая аппроксимация. Необходимые условия первого порядка для локального минимума в гладких задачах с ограничениями (правило множителей Лангража, условие Куна-Таккера). |
II. Элементы вычислительной математики |
|---|
| 1. | Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация, устойчивость, сходимость к решению. . Методы решения сеточных уравнений и систем. решение трех-диагональных систем методом прогонки. |
| 2. | Численные методы линейной алгебры (метод Зейделя, метод Гаусса, выбор главных элементов), численные методы в задачах на собственные значения. Итерационные методы решения нелинейных уравнений метод Ньютона, метод градиентного спуска, продолжение по параметру). |
| 3. | Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Эйлера, методы Рунге-Кутта). Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения 2-го порядка. |
| 4. | Разностные методы для уравнений с частными производными. Явные и неявные схемы для уравнения теплопроводности. Метод характеристик и псевдовязкости для уравнений одномерной нестационарной газовой динамики в переменных Лагранжа. |
| 5. | Методы типа Галеркина для дифференциальных уравнений и вариационных задач. |
III. ИНФОРМАТИКА |
|---|
| 1. | Классификация ЭВМ и вычислительных систем по их архитектуре и целям применения. Понятие о простейшей архитектуре с последовательной обработкой, мультипроцессорных вычислительных системах и вычислительных комплексов с параллельной обработкой данных. |
| 2. | Языки программирования. Подходы к их классификации (по уровню абстракции, по классам применений, по классам пользователей). Понятие о методах трансляции. Лексический, синтаксический, семантический анализ. Генерация объектного кода. |
| 3. | Структурное программирование, программирование сверху-вниз (пошаговая детализация). Основные принципы объектно-ориентированного программирования. |
| 4. | Концепция типа данных. Скалярные, составные, ссылочные типы. Очереди, стеки, деки, деревья, графы, таблицы. Алгоритмы обработки и поиска. Средства инкапсуляции данных. Понятие абстрактных типов данных. |
| 5. | Модели данных. Иерархическая, сетевая, реляционная. Алгебра отношений. Примеры соответствующих СУБД. Информационно-поисковые системы, классификация. Методы реализации и методы ускорения поиска. Понятие о базе знаний. |
| 6. | Понятие алгоритма. Алгоритмические схемы Тьюринга, Поста и Маркова. Алгоритмически неразрешимые проблемы. |
| 7. | Алгебра логики. Булевы функции. Канонические формы задания булевых функций. Понятие полноты системы булевых функций. Логика 1-го порядка. Выполнимость и общезначимость. Общая схема метода резолюций. |
| 8. | Графы, деревья, планарные графы; их свойства. Вершины. Ребра. Конечный граф. Путь. Цикл. Петля. |
| 9. | Погрешность результата численного решения задачи. Неустранимая погрешность. Запись чисел в ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Понятие "устойчивого" алгоритма. |
ЛИТЕРАТУРА |
|---|
| 1. | Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, т. 1-4, 1974. |
| 2. | Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. |
| 3. | Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. |
| 4. | Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. |
| 5. | Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. |
| 6. | Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексной переменной. М.: Наука,1977. |
| 7. | Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. |
| 8. | Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. |
| 9. | Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1969. |
| 10. | Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одной переменной. Функции нескольких вещественных переменных. М.: Наука, ч. 1-2,3,1972. |
| 11. | Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. |
| 12. | Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. |
| 13. | Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. |
| 14. | Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. |
| 15. | Марчук.Г.И. Методы вычислительной математики. М.Наука.1989. |
Дополнительная литература |
|---|
| 1. | Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, т. 1 -3, 1970. |
| 1. | Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1993. |
| 1. | Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. |
| 1. | Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошнеченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. |
| 1. | Арнольд В.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. |
Литература по разделу информатика |
|---|
| 1. | Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и трансляции.М.: Мир, т1., т2, 1978. |
| 2. | Дейт К. Введение в системы баз данных. М.: Наука, 1980. |
| 3. | Кауфман В. Ш. Языки программирования. Концепции и принципы. Радио и Связь, 1993. |
| 4. | Кнут Д. Искусство программирования. М.: Мир, т. 1, 1976, т. 2, 1977, т.3, 1978. |
| 5. | Королев Л.Н. Структуры ЭВМ и их математическое обеспечение. М.: Наука, 1978. |
| 6. | Любимский Э.З., Мартынюк В.В., Трофимов Н.П. Программирование, М.: Наука, 1980. |
| 7. | Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент. М.: Знание, 1983. |
| 8. | Пратт Т. Языки программирования: разработка и реализация. М.: Мир, 1979. |
| 9. | Смирнов А.Д. Архитектура вычислительных систем. М.: Наука, 1990. |
| 10. | Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные данные по прикладной математике. М.: Наука, 1984. |
| 11. | Хокни Р., Джесхоуп К. Параллельные ЭВМ. М.: Радио и Связь, 1986. |
| 12. | Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.: Мир, 1973 |
| 13. | Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.
|
